সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

 

 n একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, (n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়

(n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতকে নির্দিষ্ট নিয়ম অনুযায়ী θ সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতে রূপান্তরিত করা যায়। রূপান্তরিত অনুপাত ও তার চিহ্ন নির্ভর করে মূল অনুপাত ও n এর মানের উপর। রূপান্তরের নিয়মগুলো নিম্নে বর্ণনা করা হল:

n জোড়: অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে।

                                                                                sin (n.90° ± θ) = sin θ

                                                                                cos (n.90° ± θ) = cos θ

                                                                                tan (n.90° ± θ) = tan θ

                                                                                cot (n.90° ± θ) = cot θ

                                                                                sec (n.90° ± θ) = sec θ

                                                                                cosec (n.90° ± θ) = cosec θ

n বিজোড়: অনুপাত সহ-অনুপাতে পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ,

                                                                                sin (n.90° ± θ) = cos θ

                                                                                cos (n.90° ± θ) = sin θ

                                                                                tan (n.90° ± θ) = cot θ

                                                                                cot (n.90° ± θ) = tan θ

                                                                                sec (n.90° ± θ) = cosec θ

                                                                                cosec (n.90° ± θ) = sec θ

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে: নতুন অনুপাত ধনাত্মক

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ২য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত sin বা cosec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত tan বা cot হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৪র্থ চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত cos বা sec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

                           1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

                                                                                2. sin (A ‒ B) = sin A cos B ‒ cos A sin B

                                                                                3. cos (A + B) = cos A cos B ‒ sin A sin B

                                                                                4. cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B

                                                                                5. $\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}$

                                                                                6. $\tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}$

                                                                                7. $\cot (A+B)=\frac{\cot A \cot B-1}{\cot B+\cot A}$

                                                                                8. $\cot (A-B)=\frac{\cot A \cot B+1}{\cot B-\cot A}$

 

                                                                                9. sin (A + B) sin (A ‒ B) = sin² A ‒ sin² B = cos² B ‒ cos² A

                                                                                10. cos (A + B) cos (A ‒ B) = cos² A ‒ sin² B = cos² B ‒ sin² A

                                                                                11. sin (A + B + C) = cos A cos B cos C (tan A + tan B + tan C ‒ tan A tan B tan C)

                                                                                12. cos (A + B + C) = cos A cos B cos C (1 ‒ tan A tan B ‒ tan B tan C ‒ tan C tan A)

                                                                                13. $\tan (A+B+C)=\frac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A \tan B \tan C}{1-\tan A \tan B-\tan B \tan C-\tan C \tan A}$

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফল যোগ বা বিয়োগফলে রূপান্তর

                                                                                1. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A ‒ B)

                                                                                2. 2 cos A sin B = sin (A + B) ‒ sin (A ‒ B)

                                                                                3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A ‒ B)

                                                                                4. 2 sin A sin B = cos (A ‒ B) ‒ cos (A + B)

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের যোগ বা বিয়োগফল গুণফলে রূপান্তর

                                                                                1. $\sin C+\sin D=2 \sin \frac{\mathrm{C}+\mathrm{D}}{2} \cos \frac{\mathrm{c}-\mathrm{D}}{2}$
                                                                                2. $\sin C-\sin D=2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$
                                                                                3. $\cos C+\cos D=2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$
                                                                                4. $\cos D-\cos C=2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$
                                                                                5. $\cos C-\cos D=2 \sin \frac{\mathrm{C}+\mathrm{D}}{2} \sin \frac{\mathrm{D}-\mathrm{C}}{2}$

 

গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

                                                                                1. $\sin 2 \mathrm{~A}=2 \sin A \cos A=\frac{2 \tan \mathrm{A}}{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}$
2. $\cos 2 \mathrm{~A}=\cos ^{2} \mathrm{~A}-\sin ^{2} \mathrm{~A}=2 \cos ^{2} \mathrm{~A}-1=1-2 \sin ^{2} \mathrm{~A}=\frac{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}$
3. $\tan 2 A=\frac{2 \tan A}{1-\tan ^{2} A}$
$4 \cdot \sin 3 A=3 \sin A-4 \sin ^{3} A$
5. $\cos 3 A=4 \cos ^{3} A-3 \cos A$
6. $\tan 3 \mathrm{~A}=\frac{3 \tan \mathrm{A}-\tan ^{3} \mathrm{~A}}{1-3 \tan ^{2} \mathrm{~A}}$

উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত: গুণিতক কোণের সূত্র থেকে সহজেই উপগুণিতক কোণের সূত্র বের করা যায়। দ্বিগুণিতক সূত্রে $\mathrm{A}=\frac{\theta}{2}$ এবং ত্রিগুণিতক সূত্রে $\mathrm{A}=\frac{\theta}{3}$ বসালেই উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সূত্র পাওয়া যায়।

1. $\sin \theta=2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\frac{2 \tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{\theta}{2}}$
2. $\cos \theta=\cos ^{2} \frac{\theta}{2}-\sin ^{2} \frac{\theta}{2}=2 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}-1=1-2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\tan ^{2} \frac{\theta}{2}}{1+\tan 2 \frac{\theta}{2}}$
3. $\tan \theta=\frac{2 \tan \frac{\theta}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{\theta}{2}}$
4. $\sin \theta=3 \sin \frac{\theta}{3}-4 \sin ^{3} \frac{\theta}{3}$
5. $\cos \theta=4 \cos ^{3} \frac{\theta}{3}-3 \cos \frac{\theta}{3}$
6. $\tan \theta=\frac{3 \tan \frac{\theta}{3}-\tan ^{3} \frac{\theta}{3}}{1-3 \tan ^{2} \frac{\theta}{8}}$

 

উদাহরণ 1. মান নির্ণয় কর

(i) cos 690°

(ii) sin (‒ 1395°)

(iii) $\operatorname{cosec}\left(\frac{16 \pi}{3}\right)$

সমাধান:

(i)

cos 690° = cos (7×90° + 60°)

এক্ষেত্রে n = 7 যা বিজোড় সুতরাং cos সহ-অনুপাত sin এ পরিবর্তিত হবে।

আবার, প্রতি চতুর্ভাগ অতিক্রম করা মানে 90° করে কোণ অতিক্রম করা। এক্ষেত্রে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 7টি চতুর্ভাগ অতিক্রম করে আরও 45° গেলে নির্ণেয় কোণের প্রান্তিক বাহুর অবস্থান হয় চতুর্থ চতুর্ভাগে যেখানে cos ধনাত্মক।  [(n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়]

∴ cos 690° = sin 60° =             [0°, 30°, 45°, 60° ও 90° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান]

অথবা,

cos 690° = cos (8×90° ‒ 30°)

এক্ষেত্রে, n = 8 যা জোড় সুতরাং অনুপাত অপরিবর্তিত থাকবে।

আবার, ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 8টি চতুর্ভাগ অতিক্রম করে উল্টো দিকে অর্থাৎ ঘড়ির কাঁটার দিকে 30° গেলে নির্ণেয় কোণের প্রান্তিক বাহুর অবস্থান হয় চতুর্থ চতুর্ভাগে যেখানে cos ধনাত্মক।

∴ $\cos 690^{\circ}=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

(ii)

$\sin \left(-1395^{\circ}\right)=-\left\{\sin \left(15 \times 90^{\circ}+45^{\circ}\right)\right\}=-\left(-\cos 45^{\circ}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

অথবা,

$\sin \left(-1395^{\circ}\right)=-\left\{\sin \left(16 \times 90^{\circ}-45^{\circ}\right)\right\}=-\left(-\sin 45^{\circ}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

(iii)

$\operatorname{cosec}\left(\frac{16 \pi}{3}\right)=\operatorname{cosec}\left(5 \pi+\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{cosec}\left(10 \cdot \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=-\operatorname{cosec} \frac{\pi}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

 

উদাহরণ 2. যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং $\sin A=\frac{12}{13}$ হয়, তবে cot A এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান

পদ্ধতি 1:

দেওয়া আছে, $\sin A=\frac{12}{13}$

আমরা জানি,

$\sin ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}=1 \Rightarrow \cos ^{2} \mathrm{~A}=1-\sin ^{2} \mathrm{~A} \Rightarrow \cos \mathrm{A}=\pm \sqrt{1-\sin ^{2} \mathrm{~A}}=\pm \sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^{2}}=\pm \frac{5}{13}$

কিন্তু A সূক্ষ্মকোণ অর্থাৎ প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে। সুতরাং cos A ধনাত্মক। ∴ $\cos A=\frac{5}{13}$

∴ $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12}$

পদ্ধতি 2:

মনে করি, BOC সমকোণী ত্রিভুজে ∠OCB = A

তাহলে, $\sin A=\frac{12}{13}=\frac{O B}{B C}$

অর্থাৎ, OB = 12, BC = 13

কিন্তু পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$O B^{2}+O C^{2}=B C^{2}$
$\Rightarrow O C^{2}=B C^{2}-O B^{2}$
$\Rightarrow O C=\pm \sqrt{B C^{2}-O B^{2}}$

কিন্তু কোনো কিছুর পরিমাপ কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না।

$\therefore O C=\sqrt{B C^{2}-O B^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$
$\therefore \cot A=\frac{O C}{O B}=\frac{5}{12}$

উদাহরণ 3. যদি $\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ এবং $\sin \theta=\frac{5}{13}$ হয়, তবে $\frac{\tan \theta+\sec (-\theta)}{\cot \theta+\operatorname{cosec}(-\theta)}$ এর মান কত?

সমাধান:

এখানে,$\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ সুতরাং θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ২য় চতুর্ভাগে এবং ‒ θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে।

$\therefore \tan \theta=-\frac{5}{12}$
$\therefore \sec (-\theta)=-\frac{13}{12}$
$\therefore \cot \theta=-\frac{12}{5}$
$\therefore \operatorname{cosec}(-\theta)=-\frac{13}{5}$
$\therefore \frac{\tan \theta+\sec (-\theta)}{\cot \theta+\operatorname{cosec}(-\theta)}=\frac{-\frac{5}{12}-\frac{13}{12}}{-\frac{12}{5}-\frac{13}{5}}=\frac{-\frac{18}{12}}{-\frac{25}{5}}=\frac{3}{10}$

উদাহরণ 4. sin 480° cos 750° + cos (‒ 660°) sin (‒ 870°) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

$\sin 480^{\circ} \cos 750^{\circ}+\cos \left(-660^{\circ}\right) \sin \left(-870^{\circ}\right)$
$=\sin \left(5 \times 90^{\circ}+30^{\circ}\right) \cos \left(8 \times 90^{\circ}+30^{\circ}\right)+\left\{-\cos \left(7 \times 90^{\circ}+30^{\circ}\right)\right\}\left\{-\sin \left(9 \times 90^{\circ}+60^{\circ}\right)\right\}$
$=\cos 30^{\circ} \cos 30^{\circ}+\left(\sin 30^{\circ}\right)\left(-\cos 60^{\circ}\right)$
$=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$
$=\frac{1}{2}$

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:

উদাহরণ 5. মান নির্ণয় কর:

(i) sin² 10° + sin² 20° + sin² 30° + … … … + sin² 80°

(ii) cos² 25° + cos² 35° + cos² 45° + cos² 55° + cos² 65°

সমাধান:

(i)

sin² 10° + sin² 20° + sin² 30° + … … … + sin² 80°

= sin² 10° + sin² 20° + sin² 30° + sin² 40° + sin² (90° ‒ 40°) + sin² (90° ‒ 30°) + sin² (90° ‒ 20°) + sin² (90° ‒ 10°)

= sin² 10° + sin² 20° + sin² 30° + sin² 40° + cos² 40° + cos² 30° + cos² 20° + cos² 10°

= (sin² 10° + cos² 10°) + (sin² 20° + cos² 20°) + (sin² 30° + cos² 30°) + (sin² 40° + cos² 40°)

= 1 + 1 + 1 + 1                [∵ sin² θ + cos² θ = 1]

= 4

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:

(ii)

$\cos ^{2} 25^{\circ}+\cos ^{2} 35^{\circ}+\cos ^{2} 45^{\circ}+\cos ^{2} 55^{\circ}+\cos ^{2} 65^{\circ}$
$=\cos ^{2} 25^{\circ}+\cos ^{2} 35^{\circ}+\cos ^{2} 45^{\circ}+\cos ^{2}\left(90^{\circ}-35^{\circ}\right)+\cos ^{2}\left(90^{\circ}-25^{\circ}\right)$
$=\cos ^{2} 25^{\circ}+\cos ^{2} 35^{\circ}+\cos ^{2} 45^{\circ}+\sin ^{2} 35^{\circ}+\sin ^{2} 25^{\circ}$
$=\left(\sin ^{2} 25^{\circ}+\cos ^{2} 25^{\circ}\right)+\left(\sin ^{2} 35^{\circ}+\cos ^{2} 35^{\circ}\right)+\cos ^{2} 45^{\circ}$
$=1+1+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}$
$=2+\frac{1}{2}$
$=\frac{5}{2}$

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:

উদাহরণ 6. $\frac{\sin 65^{\circ}-\sin 25^{\circ}}{\sin 65^{\circ}+\sin 25^{\circ}}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

$\frac{\sin 65^{\circ}-\sin 25^{\circ}}{\sin 65^{\circ}+\sin 25^{\circ}}$
$=\frac{\sin \left(90^{\circ}-25^{\circ}\right)-\sin 25^{\circ}}{\sin \left(90^{\circ}-25^{\circ}\right)+\sin 25^{\circ}}$
$=\frac{\cos 25^{\circ}-\sin 25^{\circ}}{\cos 25^{\circ}+\sin 25^{\circ}}$
$=\frac{\frac{\cos 25^{\circ}-\sin 25^{\circ}}{\cos 25^{\circ}}}{\frac{\cos 25^{\circ}+\sin 25^{\circ}}{\cos 25^{\circ}}}$
$=\frac{1-\tan 25^{\circ}}{1+\tan 25^{\circ}} \quad\left[\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta\right]$
$=\frac{\tan 45^{\circ}-\tan 25^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ} \tan 25^{\circ}} \quad\left[\tan 45^{\circ}=1\right]$
$=\tan \left(45^{\circ}-25^{\circ}\right) \quad\left[\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan \mathrm{B}}=\tan (A-B)\right]$
$=\tan 20^{\circ}$

উদাহরণ 7. মান নির্ণয় কর:

(i) sin 15°

(ii) cos 15°

(iii) tan 15°

(iv) sin 75°

(v) cos 75°

(vi) tan 75°

সমাধান:

(i)

sin 15°

= sin (45° ‒ 30°)

= sin 45° cos 30° ‒ cos 45° sin 30°         [sin (A ‒ B) = sin A cos B ‒ cos A sin B]

$=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}$

(ii)

cos 15°

= cos (45° ‒ 30°)

= cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°        [cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B]

$=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}$

(iii)

$\tan 15^{\circ}$
$$
\begin{aligned}
&=\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}} \\
&=\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}} \\
&=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \\
&=\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} \\
&=\frac{(\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}-2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}} \\
&=\frac{4-2 \sqrt{3}}{2} \\
&=2-\sqrt{3}
\end{aligned}
$$

(iv)

$\begin{aligned}
&\sin 75^{\circ} \\
&=\sin \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) \\
&=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\
&=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \\
&=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}
\end{aligned}$

(v)

$\cos 75^{\circ}$
$=\cos \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)$
$=\cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}$

(vi)

$\tan 75^{\circ}$
$=\frac{\sin 75^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}$
$=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}}$
$=\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$
$=\frac{(\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}+2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}$
$=\frac{4+2 \sqrt{3}}{2}$
$=2+\sqrt{3}$

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন

1. নিচের কোনটি sin A বা  cos A এর বহুপদীরূপে  sin 3A কে প্রকাশ করে?

[DU 2001-2002, 2003-2004]

(A) 4 sin³ A ‒ 3 sin A      (B) 3 sin³ A ‒ 4 sin A      (C) 3 sin A ‒ 4 sin³ A      (D) 4 sin³ A ‒ 3 cos A

2. cos 420° cos 390° + sin (‒300°) sin (‒ 330°) এর মান ‒                                        

[DU 2001-2002]

(A) 0                                     (B) ‒ 1                                  (C) 1                                      (D)

3.  $\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=?$                                                                                                                                     

[DU 2001-2002]

(A) tan 2θ                           (B) 2 sin θ cos θ               (C) $2 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}$                        (D) cos 2θ

4. নিচের কোন রাশিমালাটি cos 3A কে cos A বা sin A এর বহুপদীরূপে প্রকাশ করে ‒

[DU 2002-2003]

(A) 3 cos A ‒ 4 cos³ A    (B) 4 cos³ A ‒ 3 cos A    (C) 3 sin A ‒ 4 sin³ A      (D) 4 sin³ A ‒ 3 sin A

5. sin 65° + cos 65° সমান ‒

[DU 2002-2003]

(A) $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 40^{\circ}$                   (B) $\frac{1}{2} \sin 20^{\circ}$                    (C) $\sqrt{2} \cos 20^{\circ}$                  (D) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 40^{\circ}$

6. tan 75° ‒ tan 30° ‒ tan 75° tan 30° এর মান ‒

[DU 2003-2004]

(A) 0                                     (B) 1                                     (C) $\frac{1}{\sqrt{2}}$                                    (D) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

7. cos 675° + sin (‒ 1395°) সমান ‒

[DU 2003-2004]

(A) $\frac{1}{2}$                                     (B) $\frac{1}{\sqrt{2}}$                                    (C) $-\sqrt{2}$                            (D) $\sqrt{2}$

8. $\frac{\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ}}{\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}}$ সমান ‒

[DU 2004-2005, 2011-2012]

(A) $\sqrt{3}$                                 (B) $\sqrt{2}$                                  (C) $\frac{1}{\sqrt{2}}$                                   (D) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

9. sin² 10° + sin² 20° + … … … + sin² 80° + sin² 90° এর মান ‒

[DU 2004-2005]

(A) 5                                     (B) 6                                     (C) 4                                      (D) 3

10. sin 780° cos 390° ‒ sin 330° cos (‒ 300°) এর মান ‒

[DU 2005-2006]

(A) 0                                     (B) ‒ 1                                  (C) 1                                      (D) $\frac{1}{2}$

11. cos² 30° + cos² 60° + … … … + cos² 180° এর মান ‒

[DU 2006-2007]

(A) 0                                     (B) 2                                     (C) 3                                      (D) 4

12. cos 75° এর সঠিক মান ‒

[DU 2007-2008]

(A) $\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}$                               (B) $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$                                  (C) $-\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$                             (D) $\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}$

13. যদি $\cos A=\frac{4}{5}$ হয়, তবে $\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}$ এর মান ‒

[DU 2007-2008]

(A) $-\frac{25}{7}$
(B) $\frac{7}{5}$
(C) $\frac{25}{7}$
(D) $-\frac{7}{5}$

14. cos² 0° + cos² 10° + cos² 20° + … … … + cos² 90° এর মান ‒

[DU 2008-2009]

(A) 6                                     (B) 3                                     (C) 5                                      (D) 4

15. cot A ‒ tan A সমান ‒

[DU 2008-2009]

(A) 2 tan 2A                       (B) 2 cot 2A                       (C) 2 cos² A                        (D) 2 sin² A

16. tan θ =  এবং θ সূক্ষ্মকোণ হলে sin θ + sec (‒θ) এর মান ‒

[DU 2008-2009]

(A) $\frac{21}{156}$
(B) $\frac{229}{156}$
(C) $\frac{219}{156}$
(D) $\frac{17}{13}$

17. cos 198° + sin 432° + tan 168° + tan 12° এর মান ‒

[DU 2009-2010]

(A) 0                                     (B) ‒ 1                                  (C) 1                                      (D)

18. যদি \cos \theta=\frac{12}{13} হয়, তাহলে tan θ এর মান ‒

[DU 2009-2010]

(A) $\pm \frac{5}{12}$
(B) $\frac{25}{144}$
(C) $\frac{13}{12}$
(D) $\pm \frac{13}{12}$

19. যদি  A + B + C = π হয়, তবে $\sin ^{2} \frac{\mathrm{A}}{2}+\sin ^{2} \frac{\mathrm{B}}{2}+\sin ^{2} \frac{\mathrm{C}}{2}$ সমান ‒

[DU 2010-2011]

(A) $1-2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
(B) $1+2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
(C) $1-\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
(D) $1+\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$

সমাধান

1.

আমরা জানি, sin 3A = 3 sin A ‒ 4 sin³ A                                [গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত]

∴ Answer: (C)

2.

[উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে পাই:

∴ Answer: (D)

3.

আমরা জানি, \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta=\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}    [গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত]

∴ Answer: (B)

4.

আমরা জানি, cos 3A = 4 cos³ A ‒ 3 cos A             [গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত]

∴ Answer: (B)

5.

$\begin{aligned}
&\sin 65^{\circ}+\cos 65^{\circ} \\
&=\sin 65^{\circ}+\cos \left(90^{\circ}-25^{\circ}\right) \\
&=\sin 65^{\circ}+\sin 25^{\circ} \\
&=2 \sin \frac{65^{\circ}+25^{\circ}}{2} \cos \frac{65^{\circ}-25^{\circ}}{2} \\
&=2 \sin 45^{\circ} \cos 20^{\circ} \\
&=2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 20^{\circ} \\
&=\sqrt{2} \cos 20^{\circ}
\end{aligned}$

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করে প্রদত্ত রাশির সাথে প্রশ্নের Option গুলোর মান মিলিয়ে সঠিক উত্তর নির্বাচন করা যায়।      [উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

এক্ষেত্রে,

$\sin 65^{\circ}+\cos 65^{\circ}=1.3289 \ldots$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 40^{\circ}=0.9382 \ldots$
$\frac{1}{2} \sin 20^{\circ}=0.1710 \ldots$
$\sqrt{2} \cos 20^{\circ}=1.3289 \ldots$

∴ Answer: (C)

6.

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

tan 75° ‒ tan 30° ‒ tan 75° tan 30° = 1                 [উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

∴ Answer: (B)

7.

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

$\cos 675^{\circ}+\sin \left(-1395^{\circ}\right)=1.4142 \ldots=\sqrt{2}$         [উদাহরণ 1. দ্রষ্টব্য]

∴ Answer: (D)

8.

[উদাহরণ 6. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

$\frac{\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ}}{\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}}=1.732 \ldots=\sqrt{3}$

∴ Answer: (A)

9.

[উদাহরণ 5. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

sin² 10° + sin² 20° + … … … + sin² 80° + sin² 90° = 5

∴ Answer: (A)

10.

[উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

sin 780° cos 390° ‒ sin 330° cos (‒ 300°) = 1

∴ Answer: (C)

11.

[উদাহরণ 5. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

cos² 30° + cos² 60° + … … … + cos² 180° = 3

∴ Answer: (C)

12.

[উদাহরণ 7. দ্রষ্টব্য]

$\cos 75^{\circ}=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}$

∴ Answer: (D)

13.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

$\therefore \tan A=\pm \frac{3}{4}$
$\therefore \frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}=\frac{1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}=\frac{1+\frac{9}{16}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{25}{7}$

∴ Answer: (C)

14.

[উদাহরণ 5. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

cos² 0° + cos² 10° + cos² 20° + … … … + cos² 90° = 5

∴ Answer: (C)

15.

$\cot A-\tan A$
$=\frac{\cos A}{\sin A}-\frac{\sin A}{\cos A}$
$=\frac{\cos ^{2} A-\sin ^{2} A}{\sin A \cos A}$
$=\frac{\cos 2 A}{\sin A \cos A} \quad\left[\cos 2 A=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\right]$
$=\frac{2 \cos 2 A}{2 \sin A \cos A}$
$=\frac{2 \cos 2 \mathrm{~A}}{\sin 2 \mathrm{~A}} \quad[\sin 2 A=2 \sin A \cos A]$
$=2 \cot 2 A$

∴ Answer: (B)

16.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

∵ θ সূক্ষ্মকোণ ∴ $\sin \theta=\frac{5}{13}$ এবং $\sec (-\theta)=\sec \theta=\frac{13}{12}$

∴ $\sin \theta+\sec (-\theta)=\frac{5}{13}+\frac{13}{12}=\frac{229}{156}$

∴ Answer: (B)

17.

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

cos 198° + sin 432° + tan 168° + tan 12° = 0                   [উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

∴ Answer: (A)

18.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

∵ θ সম্পর্কে নির্দিষ্ট কিছু বলা নেই এবং cos θ ধনাত্মক সুতরাং θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ১ম অথবা ৪র্থ চতুর্ভাগের যেকোনোটিতে হতে পারে।

∴ $\tan \theta=\pm \frac{5}{12}$

∴ Answer: (A)

19.

$\sin ^{2} \frac{A}{2}+\sin ^{2} \frac{B}{2}+\sin ^{2} \frac{C}{2}$
$=\frac{1}{2}\left(2 \sin ^{2} \frac{A}{2}+2 \sin ^{2} \frac{B}{2}\right)+\sin ^{2} \frac{C}{2}$
$=\frac{1}{2}(1-\cos A+1-\cos B)+\sin ^{2} \frac{C}{2} \quad\left[\cos \theta=1-2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2} \Rightarrow 2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=1-\cos \theta\right]$
$=1-\frac{1}{2}(\cos A+\cos B)+\sin ^{2} \frac{C}{2}$
$=1-\frac{1}{2} \times 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}+\sin ^{2} \frac{C}{2} \quad\left[\cos C+\cos D=2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}\right]$
$=1-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right) \cos \frac{A-B}{2}+\sin ^{2} \frac{C}{2} \quad\left[A+B+C=\pi \Rightarrow \frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right]$
$=1-\sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}+\sin ^{2} \frac{C}{2}$

$=1-\sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2}+\sin ^{2} \frac{C}{2}$
$=1-\sin \frac{C}{2}\left[\cos \frac{A-B}{2}-\sin \frac{C}{2}\right]$
$=1-\sin \frac{C}{2}\left[\cos \frac{A-B}{2}-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)\right]$
$=1-\sin \frac{C}{2}\left[\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B}{2}\right]$
$=1-\sin \frac{C}{2} \times 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \quad[2 \sin A \sin B=\cos (A-B)-\cos (A+B)]$
$=1-2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$

অথবা,

A = B = C = 60° ধরলে Calculator ব্যবহার করে পাই,

$\sin ^{2} \frac{A}{2}+\sin ^{2} \frac{B}{2}+\sin ^{2} \frac{C}{2}=0.75$
$1-2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}=0.75$

∴ Answer: (A)