বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)

সাধারণ ধারণা 

 

বহুপদী ও তার ঘাত (Polynomial and its degree) : বহুপদী এক ধরনের বীজগাণিতিক রাশি (Expression) । এতে এক বা একাধিক পদ (element) থাকতে পারে । এক বা একাধিক চলকের (variable) কেবলমাত্র ধনাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত ও কোন ধ্রুবকের (constant) গুণফল হল বহুপদীর বিভিন্ন পদ । বহুপদীর পদগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতকে বহুপদীয় ঘাত (Degree) বলে ।

এক চলকের বহুপদী : এর প্রতি পদে শুধুমাত্র একটি চলকের বিভিন্ন পূর্ণ সাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবক থাকে । যেমন :

a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+ ......+a_n একটি এক চলকের বহুপদী যেখানে x চলক । a ₀, a₁, a₂, ...... a_n ∈ R হল ধ্রুবক যেখানে a₀ ≠ 0 । n হল x এর সর্বাধিক ঘাত । লক্ষণীয়, x এর ঘাত কখনও ঋণাত্মক হতে পারবে না । a₀ কে মুখ্য সহগ বলা হয় । এক চলক x-বিশিষ্ট এরূপ বহুপদী রাশিকে f(x) দ্বারাও প্রকাশ করা হয় ।

বহুপদী সমীকরণ (Polynomial Equation) : a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+ ......+a _n = 0 আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলে ।

x এর যে মানগুলোর জন্য বহুপদী সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয়, ঐ মানগুলোকে বহুপদী সমীকরণের মূল (Roots) বলা হয় ।

n = 1,2,3 এর জন্য বহুপদী সমীকরণটিকে যথাক্রমে সরল সমীকরণ (Linear equation), দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation), ত্রিঘাত সমীকরণ (cubic equation) বলা হয় ।

বহুপদী সমীকরণের উপপাদ্য (Theorems of polynomial equations) :

  i. বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental theorem of algebra) : প্রতিটি বহুপদী সমীকরণের অন্তত একটি মূল (বাস্তব কিংবা জটিল) থাকে ।

  ii. n ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে n সংখ্যক মূল আছে (বাস্তব কিংবা জটিল) । তবে সব মূলগুলো ভিন্ন নাও হতে পারে ।

  iii. ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) : যদি কোন বহুপদী f(x) কে x-a দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে f(a) ।

  iv. উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem) : যদি a, বহুপদী সমীকরণ f(x) এর একটি মূল হয় তবে (x-a) বহুপদী f(x) এর একটি উৎপাদক হবে ।

  v. অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য (Conjugate pairs theorem) : a+ib কোন বহুপদী সমীকরণের জটিল মূল হলে এর অনুবন্ধী a-ib ও সমীকরণের মূল হবে । এবং a+√b একটি মূল হলে (যেখানে √b অমূলদ), এর অনুবন্ধী a-√b ও সমীকরণের একটি মূল হবে ।

· বহুপদীর মূল সহগ সম্পর্ক : যদি a,b,c,d, ...... k কোন বহুপদী সমীকরণ p₀xⁿ+p₁x^n-1+p₂x ^n-2+ ...... +p_n এর মূল হয় তবে,

  i. = a+b+c+ ...... + k = - p₁/p₀

  ii. = ab+bc+cd+ ...... = P₂/P₀

  iii. a×b×c×d×......×k = (-1)ⁿ (p_n/p₀)

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 2 হলে তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ-

ax²+bx+c = 0; যেখানে a≠0; a,b,c মূলদ সংখ্যা

উক্ত সমীকরণ সমাধান করলে x এর দুইটি মান পাওয়া যাবে অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল হবে-

$\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}}}{2 \mathrm{a}}$ এবং $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

· দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি α এবং β (α>β) হলে,

  i. $\sum \alpha=\alpha+\beta=-\mathrm{b} / \mathrm{a}$ = - x এরসহগ /  x ²এরসহগ

  ii. αβ = c/a = ধ্রুবকপদ / x ²এরসহগ

· দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি (Nature of the roots) : আমরা জানি, ax ²+bx+c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূল, $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ । এখানে, (b² -4ac) এর মান পর্যালোচনা করলেই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি জানা যায় । এজন্য (b²-4ac) কে দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক বা নিরূপক (Discriminant) বলা হয় ।

  i. যদি b²-4ac=0 ⇒ b²=4ac হয় তবে মূল দুইটি হবে –b/2a এবং –b/2a । অর্থাৎ মূল দুইটি বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে ।

  ii. b²-4ac>0 ⇒ b²>4ac হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে ।

  iii. b²-4ac<0 ⇒ b²<4ac হলে মূলদ্বয় অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা হবে ।

  iv. (b²-4ac) পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান হবে ।

  v. c = 0 হলে একটি মূল 0 হবে ।

  vi. b = 0 হলে মূল দুইটি হবে √(-c/a) এবং -√(-c/a) অর্থাৎ মূল দুইটির মান সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হবে । লক্ষণীয়, এক্ষেত্রে a ও c একই চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় জটিল    এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় বাস্তব হবে ।

· দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ মূল থাকার শর্ত : a₁x²+b₁x+c₁=0 ও a₂x²+b₂x+c ₂=0 সমীকরণদ্বয়ের-

  i. একটি মূল সাধারণ হবে যদি (a₁b₂-a₂b₁)(b₁c₂-b₂c₁) = (c ₁a₂-c₂a₁)² হয় ।

  ii. উভয় মূলই সাধারণ হবে যদি a₁/a₂ = b₁/b ₂ = c₁/c₂ হয় ।

· দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন : দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল দেয়া থাকলে তা থেকে দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন করা যায় । সমীকরণটি হবে-

  x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0 

  অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল α ও β হলে সমীকরণটি হবে-

  x² - (α+β)x + αβ = 0

· ত্রিঘাত সমীকরণ Cubic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 3 হলে তাকে ত্রিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট ত্রিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ-

  ax³+bx²+cx+d = 0; যেখানে a≠0; a,b,c,d মূলদ সংখ্যা

· ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax³+bx²+cx+d = 0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ হলে-

  i. = α+β+γ = -b/a

  ii. = αβ+βγ+γα = c/a

  iii. αβγ = -d/a

· Important formula :

i. (a+b)² = a²+2ab+b² = (a-b)² +4ab

ii. (a-b)²= a²-2ab+b² = (a+b)² -4ab

iii. 4ab = (a+b)²-(a-b)²

iv. a²+b² = (a+b)²-2ab = (a-b)² +2ab

v. a³+b³ = (a+b)³-3ab(a+b) = (a+b)(a ²-ab+b²)

vi. a³-b³ = (a-b)³+3ab(a-b) = (a-b)(a ²+ab+b²)

vii. a⁴+b⁴ = [(a+b)²-2ab]² -2(ab)²

viii. a²+b²+c² = (a+b+c)² -2(ab+bc+ca)

ix. (a+b)²+(b+c)²+(c+a)² = 2(a² +b²+c²+ab+bc+ca)

x. (a-b)²+(b-c)²+(c-a)² = 2(a² +b²+c²-ab-bc-ca)

xi. a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a² +b²+c²-ab-bc-ca)

= ½ (a+b+c){(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²}

= (a+b+c){(a+b+c)²-3(ab+bc+ca)}

গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান :

1. x³-px²+qx-r = 0 সমীকরণের মূলগুলো α,β,γ হলে-

a. $\sum \alpha$

b. $\sum \alpha \beta$

c. $\sum \alpha^{2}$

d. $\sum \alpha^{3}$ এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধান :

a. এখানে, $\sum \alpha=\alpha+\beta+\gamma=-(-\mathrm{p} / 1)=\mathrm{p}$ [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

b. $\sum \alpha \beta=\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\mathrm{q} / 1=\mathrm{q}$ [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

c. $\sum \alpha^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=(\alpha+\beta+\gamma)-2(\alpha \beta+\beta y+\gamma \alpha)$ [See Important formula viii]

= p²-2q

d. $\sum \alpha^{3}=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=(\alpha+\beta+\gamma)\left\{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-3(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)\right\}+3 \alpha \beta \gamma$ [See Important formulae xi]

= p(p²-2q-3q)+{-(-r/1)} [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল সহগ-সম্পর্ক]

= p³-5pq+3r

 

2. x³+qx+r=0 এর মূলগুলো α,β,γ হলে $\frac{\gamma^{2}}{\alpha+\beta}+\frac{\alpha^{2}}{\beta+\gamma}+\frac{\beta^{2}}{\gamma+\alpha}$ এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধান :

এখানে, x³+qx+r = 0 ⇒ x³+0.x²+qx+r = 0

∴ α+β+γ = 0...(i) [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

(i) ⇒ α+β = -γ; β+γ = - α; α+γ = -β

∴ $\frac{\gamma^{2}}{\alpha+\beta}+\frac{\alpha^{2}}{\beta+\gamma}+\frac{\beta^{2}}{\gamma+\alpha}=\frac{\gamma^{2}}{-\gamma}+\frac{\alpha^{2}}{-\alpha}+\frac{\beta^{2}}{-\beta}=-\gamma-\alpha-\beta=-(\alpha+\beta+\gamma)=0$

 

3. k এর মান কত হলে, (3k+1)x²+(11+k)x+9 = 0 সমীকরণের মূলগুলো-

a. সমান

b. বাস্তব ও অসমান

c. জটিল হবে?

সমাধান :

এখানে, নিশ্চায়ক, D = (11+k)²-4(3k+1)9 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি]

= k²+22k+121-108k-86

= k²-86k+85

= k²-k-85k+85

= (k-1)(k-85)

a. মূলগুলো সমান হবে যদি D=0 হয় [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি i]

⇒ (k-1)(k-85) = 0

⇒ k=1 অথবা 85 হয়

b. মূলগুলো বাস্তব ও অসমান হবে যদি D>0 হয় [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি ii]

⇒ (k-1)(k-85) > 0

⇒ k<1 অথবা 85>0 হয় [See Algebra - chaper 2 - বাস্তব সংখ্যা]

c. মূলগুলো জটিল হবে যদি D<0 হয় [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি iii]

⇒ (k-1)(k-85) < 0

⇒ k<1<85 হয় [See Algebra - chaper 2 - বাস্তব সংখ্যা]

 

4. x²-2x+3 = 0 সমীকরণের মূল দুইটি α ও β হলে নিচের মূলগুলো দ্বারা গঠিত সমীকরণসমূহ নির্ণয় কর ।

i. -α, -β

ii. 1/α, 1/ β

iii. -1/ α, -1/ β

iv. α+β, αβ

v. 4α, 4β

vi. α -1, β-1

vii. α², β²

viii. 1/ α², 1/β²

ix. α+ α^-1, β+β^-1

x. α+β^-1, β+ α^-1

xi. $\frac{1}{\alpha-1}, \frac{1}{\beta-1}$

xii. 1/α³, 1/β³

সমাধান :

এখানে, α+β = 2 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

αβ = 3 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

i. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -α-β = -(α+β)

মূলদ্বয়ের গুণফল = (-α)(-β) = αβ

∴ -α ও -β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x²-(-α-β)x+(-α)(-β) = 0 [See দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²+(α+β)x+αβ = 0

⇒ x²+2x+3 = 0

Short-cut : ax²+bx+c=0 সমীকরণে মূলদ্বয় α ও β হলে -α ও -β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax²-bx+c=0

ii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = $-1 / \alpha-1 / \beta=-\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=-2 / 3$

মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α × 1/β = 1/(αβ) = 1/3

∴ 1/α ও 1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x²-(1/α+1/β)x+(1/α)(1/β) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²-2/3x+1/3 = 0

⇒ 3x²-2x+1 = 0

Short-cut : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে 1/α ও 1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, cx²+bx+a = 0

iii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -1/α-1/β = - = -2/3

মূলদ্বয়ের গুণফল = (-1/α)×(-1/β) = 1/(αβ) = 1/3

∴ -1/α ও -1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x²-(-1/α-1/β)x+(-1/α)(-1/β) = 0 [See দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²+(2/3)x+(1/3) = 0

⇒ 3x²+2x+1 = 0

Short-cut : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে -1/α ও -1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, cx²-bx+a = 0

iv. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+β+αβ = 5

মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+β)(αβ) = 6

∴ α+β ও αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x²-(α+β+αβ)x+(α+β)(αβ) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²-5x+6 = 0

Short-cut : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে α+β ও αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax²+a(b-c)x-bc = 0

v. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 4α+4β = 4(α+β) = 8

মূলদ্বয়ের গুণফল = (4α)(4β) = 16αβ = 48

∴ 4α ও 4β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x²-(4α+4β)x+(4α)(4β) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²-8x+48 = 0

Short-cut : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে nα ও nβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax²+nbx+n²c = 0

vi. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α-1+β-1 = α+β-2 = 0

মূলদ্বয়ের গুণফল = (α-1)(β-1) = αβ-α-β+1

= αβ-(α+β)+1

= 2

∴ (α-1) ও (β-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x²-(α-1+β-1)x+(α-1)(β-1) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²+2 = 0

Short-cut : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে (α-n) ও (β-n) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax²-(b-2an)x+c+bn+n² = 0

vii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α²+β² = (α+β)²-2αβ = 4-6 = -2

মূলদ্বয়ের গুণফল = α²β² = (αβ)² = 9

∴ α² ও β² মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x²-(α²+β²)x+(α²)(β²) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²+2x+9 = 0

Short-cut : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে α² ও β² মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, a²x ²+(b²-2ca)x+c² = 0

viii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/α² + 1/β²

= $\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha^{2} \beta^{2}}$

= $\frac{(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta}{(\alpha \beta)^{2}}$ [See Important formulae iv]

= (4-6)/9

= -2/9

মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α² . 1/β² = 1/(αβ)² = 1/9

∴ 1/α² ও 1/β² মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x²-(1/α²+1/β²)x+(1/α²)(1/β ²)=0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²+(2/9)x+1/9 = 0

⇒ 9x²+2x+1 = 0

Short-cut : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে 1/α² ও 1/β² মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, c²x ²-(b²-2ac)x+a² = 0

ix. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+α^-1+β+β^-1

= α+β+1/α+1/β

= (α+β)+

= 2+2/3

= 8/3

মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+α^-1)(β+β^-1)

= αβ+α^-1β+β^-1α+α^-1β^-1

= αβ+β/α+α/β+(1/α)(1/β)

= $\alpha \beta+\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha \beta}$

= $\alpha \beta+\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{(\alpha+\beta) 2-2 \alpha \beta}{\alpha \beta}$

= 3+1/3+(4-6)/3

= 8/3

∴ (α+α^-1) ও (β+β^-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x²-(α+α^-1+β+β^-1)x+(α+α^-1)(β+β ^-1) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²-8/3x+8/3 = 0

⇒ 3x²-8x+8 = 0

Short-cut : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে α+α ^-1 ও β+β^-1 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, acx² +b(a+c)x+a²+b²+c²-2ac = 0

x. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+β^-1+1/α+1/β

= $(\alpha+\beta)+\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}$

= 2+2/3

= 8/3

মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+β^-1)(β+α^-1)

= αβ+1+1+α^-1β^-1

= αβ+2+ 1/(αβ)

= 3+2+1/3

= 16/3

∴ (α+β^-1) ও (β+α^-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x²-(α+β^-1+β+α^-1)x+(α+β^-1)(β+α ^-1) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²-(8/3)x+16/3 = 0

⇒ 3x²-8x+16 = 0

Short-cut : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে (α+β ^-1) ও (β+α^-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, acx² +b(a+c)x+(a+c)² = 0

xi. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল 

$=\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}$
$=\frac{\alpha-1+\beta-1}{(\alpha-1)(\beta-1)}$
$=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha \beta-\alpha-\beta+1}$
$=\frac{(\alpha+\beta)-2}{\alpha \beta-(\alpha+\beta)+1}$

= 0

মূলদ্বয়ের গুণফল 

$=\frac{1}{\alpha-1} \times \frac{1}{\beta-1}$
$=\frac{1}{\alpha \beta-(\alpha+\beta)+1}$

= 1/(3-2+1)

= 1/2

∴ 1/(α-1) ও 1/(β-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

$\mathrm{x}^{2}-\left(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}\right) \mathrm{x}+\left(\frac{1}{\alpha-1}\right)\left(\frac{1}{\beta-1}\right)=0$ [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²+1/2 = 0

⇒ 2x²+1= 0

Short-cut : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে $\frac{1}{\alpha-1}$ ও $\frac{1}{\beta-1}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, (a+b+c)x²+(b+2a)x+a = 0

xii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/α³ + 1/β³

$=\frac{\alpha^{3}+\beta^{3}}{\alpha^{3} \beta^{3}}$
$=\frac{(\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha+\beta)}{(\alpha \beta)^{3}}$ [See important formula v]

= (2³-3.3.2)/3³

= 10/27

মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α³ . 1/β³

= 1/(αβ)³

= 1/27

∴ 1/α³ ও 1/β³ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x²-(1/α³ + 1/β³ )x+(1/α³)(1/β ³) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²-(10/27)x+1/27 = 0

⇒ 27x²-10x+1 = 0

Short-cut : ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে 1/α³ ও 1/β³ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, c³x+b(b ²-3ac)x+a³ = 0

5. $\sqrt{-5}-1$ কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল হলে অপর মূলটি কত? সমীকরণটি নির্ণয় কর ।

সমাধান :

এখানে, একটি মূল $\sqrt{-5}-1=-1+i \sqrt{5} \quad[i=\sqrt{-1}]$

∴ অপর মূল = $-1-i \sqrt{5}$ [See অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য]

∴ নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = $-1+\mathrm{i} \sqrt{5}-1-\mathrm{i} \sqrt{5}=-2$

মূলদ্বয়ের গুণফল = $(-1+i \sqrt{5})(-1-i \sqrt{5})$

= $(-1)^{2}-(\mathrm{i} \sqrt{5})^{2}$ [(a+b)(a-b) = a²-b ²]

= 1-i²5

= 1-i².5

= 1+5 [i² = -1]

= 6

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, $x^{2}-(-1+i \sqrt{5})(-1-i \sqrt{5}) x+(-1+i \sqrt{5})(-1-i \sqrt{5})=0$ [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²+2x+6 = 0

Short-cut : কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল a+ib হলে সমীকরণটি হবে, x ²-2ax+(a²+b²)=0

6. 3x²-2x+k=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর 1 একক হলে k এর মান কত?

সমাধান :

ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β (যেখানে α>β)

দেওয়া আছে, α-β=1 এখানে, α+β = -(-2/3) = 2/3 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

এবং αβ = k/3 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

এখন, 4αβ = (α+β)²-(α-β)² [See Important formulae iii]

⇒ 4αβ = (2/3)²-(1)²

⇒ 4.(k/3) = 4/9-1

⇒ (4/3)k = -5/9

∴ k = -5/9 × 3/4 = -5/12

Short-cut : ax²+bx+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর 1 একক হলে, b ²-a² = 4ca

এক্ষেত্রে, (-2)²-3² = 4.k.3

⇒ 12k = -5

⇒ k = -5/12

7. px²+qx+q=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত m∶n হলে, $\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}$ এর মান কত?

সমাধান :

ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β ।

∴ α+β = -q/p [see দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

∴ αβ = q/p [see দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

দেওয়া আছে, α/β = m/n

তাহলে, $\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}$

⇒ $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}$

⇒ $\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}+\frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}}+\sqrt{\frac{q}{p}} \quad\left[\because \sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right]$

$\Rightarrow \frac{(\sqrt{\alpha})^{2}+(\sqrt{\beta})^{2}}{\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}}+\sqrt{\frac{q}{p}}$
$\Rightarrow \frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha \beta}}+\sqrt{\frac{q}{p}} \quad\left[\because \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}=\sqrt{x y} \&(\sqrt{x})^{2}=x\right]$
$\Rightarrow \frac{-q / p}{\sqrt{q} / p}+\sqrt{\frac{q}{p}}$
$\Rightarrow \frac{-\sqrt{q / p} \times \sqrt{q / p}}{\sqrt{q / p}}+\sqrt{q / p} \quad[\because x=\sqrt{x} \times \sqrt{x}]$
$\Rightarrow-\sqrt{q / p}+\sqrt{q / p}=0$

8. ax²+2x+1 = 0 এবং x²+2x+a = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে a এর মান নির্ণয় কর । (a≠1)

সমাধান :

ধরি, সাধারণ মূল p ।

∵ p উভয় সমীকরণের সাধারণ মূল ∴ p দ্বারা সমীকরণদ্বয় সিদ্ধ হবে ।

অর্থাৎ, ap²+2p+1=0 …(i)

এবং, p²+2p+a=0 …(ii)

(i) ও (ii) থেকে বজ্রগুণন পদ্ধতির সাহায্যে পাই,

$\frac{p^{2}}{2 a-2}=\frac{p}{1-a^{2}}=\frac{1}{2 a-2}$ …(iii) [a₁x²+b₁x+c₁ = 0 ও a ₂x²+b₂x+c₂=0 হলে বজ্রগুণন পদ্ধতি অনুসারে, $\frac{x^{2}}{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}=\frac{x}{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}=\frac{1}{a_{1} b_{2}-b_{2} a_{1}}$ ]

(iii) ⇒ = $\frac{\mathrm{p}^{2}}{2 \mathrm{a}-2}=\frac{\mathrm{p}}{1-\mathrm{a}^{2}}$

⇒ p² = 1

⇒ p = ±1

আবার, (iii) 

$\Rightarrow \frac{1}{1-a^{2}}=\frac{1}{2 a-2}$
$\Rightarrow p=\frac{-\left(a^{2}-1\right)}{2 a-2}$
$\Rightarrow p=\frac{-(a+1)(a-1)}{2(a-1)}$
$\Rightarrow p=\frac{(a+1)}{2} \ldots(i v)$

P=1 হলে (iv) ⇒ $-\frac{(a+1)}{2}=1$

⇒ -a-1 = 2

⇒ a=1

P = -1 হলে (iv) ⇒ $-\frac{(a+1)}{2}=-1$

⇒ -a-1 = -2

⇒ a = 1

বিকল্প পদ্ধতি :

ধরি, সাধারণ মূল p ।

∴ ap²+2p+1 = 0 …(i) এবং, p²+2p+a = 0 …(ii)

(i) – (ii) ⇒ ap²-p²+1-a = 0

⇒ p²(a-1)-(a-1) = 0

⇒ (p²-1)(a-1) = 0

কিন্তু a≠1⇒ a-1 ≠ 0

∴ p²-1=0 ⇒ p = ±1

p=1 হলে (i) ⇒ a(1)²+2(1)+1=0 ⇒ a = -3

p=-1 হলে (i) ⇒ a(-1)²+2(-1)+1=0 ⇒ a = 1

 

9. x এর কোন বাস্তব মানের জন্য-

a. x²-6x+45 এর মান ন্যূনতম হবে? ন্যূনতম মান নির্ণয় কর ।

b. 19-x²+6x এর মান বৃহত্তম হবে? বৃহত্তম মান নির্ণয় কর ।

সমাধান :

a. f(x) = x²-6x+45 এর ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে যদি a>0 হয় ।

x = -b/2a এর জন্য f(x) এর ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে যেখানে, ন্যূনতম মান = f(-b/2a)

এক্ষেত্রে, x=-(-b/2a)=3 এর জন্য ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে ।

∴ ন্যূনতম মান = f(-b/2a) = f(3) = (3)²-6(3)+45 = 36

b. f(x) = 19-x²+6x এর বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে যদি a<0 হয় ।

x = -b/2a এর জন্য f(x) এর বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে যেখানে বৃহত্তম মান = f(-b/2a)

এক্ষেত্রে, x=-(b/-2a)=3 এর জন্য বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে ।

∴ বৃহত্তম মান = f(-b/2a) = f(3) = 19-(3)²+6(3) = 28 →

Calculator techniques : Calculator-এর সাহায্যে দ্বিঘাত ও ত্রিঘাত সমীকরণের মূলগুলোর মান নির্ণয় করা যায় । প্রাপ্ত মান প্রশ্নের শর্তানুসারে পরিবর্তিত করে সহজেই নতুন দ্বিঘাত/ ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন করা যায় ।

ax²+bx+c=0 আকৃতির সমীকরণ সমাধানের জন্য চাপুন-

এরপর a,b,c এর মান input করলেই সমাধান পেয়ে যাবেন ।

ax³+bx²+cx+d আকৃতির সমীকরণ সমাধানের জন্য চাপুন-

Example 4 এর দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য পূর্বোক্ত প্রক্রিয়ায় 2 degree equation mode এ প্রবেশ করে চাপতে হবে-

অর্থাৎ, উক্ত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব । মান $1+\sqrt{2} \mathrm{i}$ ও $1-\sqrt{2} \mathrm{i}$ ।  চেপে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ দেখা যায় ।

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন ও সমাধান :

1. x²-5x-3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে 1/α, 1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি? [DU : 1999-2000]

a. 3x²+5x-1=0

b. 3x²-5x+1=0

c. 5x²+x-3=0

d. 5x²-x-3=0

2. x²-4x+4=0 এর বীজদ্বয় α এবং β হলে α³+β³ এর মান কত? [DU : 2000-01]

a. 24

b. 32

c. 16

d. 8

3. x²-5x-3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় x₁, x ₂ হলে 1/x₁, 1/x₂ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কি? [DU : 2001-02]

a. 3x²-5x+1=0

b. 5x²+x-3=0

c. 3x²+5x-1=0

d. 5x²-x-3=0

4. p এর কিরূপ মানের জন্য x²+px+1 = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল হবে? [DU : 2002-03]

a. -2≤p≤2

b. -4<p≤4

c. -2<p<2

d. -4≤p<4

5. 6x²-5x+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে 1/α, 1/β মূল বিশিষ্ট সমীকরণটি হবে- [DU : 2004-05]

a. x²-5x+6=0

b. 3x²-2x+5=0

c. x²-6x+5=0

d. 5x²+2x-6=0

6. k এর যে মানের জন্য সমীকরণ (k+1)x²+4(k-2)x+2k = 0 এর মূলদ্বয়ের মান সমান হবে তা- [DU : 2004-05]

a. 4

b. 8

c. 2

d. 3

7. x²-2x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে α+β, αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে- [DU : 2005-06]

a. x²-5x+6 = 0

b. 3x²-2x+1 = 0

c. x²-3x+2 = 0

d. 2x²-3x+1 = 0

8. x²-3x+5 এর ন্যূনতম মান- [DU : 2006-07]

a. 3

b. 5

c. 15/4

d. 11/4

9. x²-5x-1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হতে 2 কম মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হল- [DU : 2007-08]

a. x²+x+7 = 0

b. x²-x-7 = 0

c. x²+x-7 = 0

d. x²-x-7 = 0

10. 5+3x-x² এর সর্বোচ্চ মান- [DU : 2008-09]

a. 3

b. 11/4

c. 29/4

d. 27/4

11. x²-7x+12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β হলে, α+β এবং αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ- [DU : 2009-10]

a. x²-19x+84 = 0

b. x²+14x+144 = 0

c. x²-14x+144 = 0

d. x²+19x-84 = 0

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধান :

1. নির্ণেয় সমীকরণ, -3x²-5x+1=0 [see example 4 (ii)]

⇒ 3x²+5x-1 = 0

∴ ans. a

2. এখানে, α+β=4; αβ=4 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]

∴ α³+β³ = (α+β)³-3αβ(α+β)

= 16

∴ ans. c

3. নির্ণেয় সমীকরণ, -3x²-5x+1=0 [see example 4 (ii)]

⇒ 3x²+5x-1 = 0

∴ ans. c

4. মূলদ্বয় জটিল হবে যদি p²- 4 < 0

⇒ p² < 4 [see example 3 (c)]

⇒ -2<p<2 হয়

∴ ans. c

5. নির্ণেয় সমীকরণ, x²-5x+6=0

∴ ans.a

6. মূলদ্বয় সমান হবে যদি {4(k-2)}²-4.(k+1).2k=0 হয় [See example 3(a)]

⇒ 16(k-2)² = 8k(k+1)

⇒ 2(k²-4k+4) = k²+k

⇒ 2k²-8k+8 = k²+k

⇒ k²-9k+8 = 0

⇒ k = 1 or, 8 [use calculator/manually factorize through middle term process]

∴ ans.b

7. α+β = 2; αβ = 3; ∴ α+β+αβ = 5 &, (α+β)(αβ) = 6 [see example 4 (iv)]

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x²-5x+6 = 0

∴ ans.a

8. –b/2a = 3/2

∴ f(3/2) = (3/2)²-3(3/2)+5 [see example 9]

= 11/4

∴ ans.d

10. α+β = 5; αβ = -1 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]

∴ (α-2)(β-2) = αβ-2(α+β)+4 = -7

∴ α-2+β-2 = 1

∴ x²-(α-2+β-2)x+(α-2)(β-2) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

⇒ x²-x-7 = 0

∴ ans.d

10. –b/2a = 3/2

∴ f(3/2) = 5+3(3/2)-(3/2)² = 29/4 [see example 9]

∴ ans.c

11. α+β = 7; αβ = 12 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]

∴ α+β+αβ = 19; ∴ (α+β)(αβ) = 84

∴ x²-(α+β+αβ)x+(α+β)(αβ) = 0 [see example 4 (iv)]

⇒ x²-19x+84 = 0

∴ ans.a