নির্ণায়ক (Determinants)

নির্ণায়ক (Determinants)

সাধারণ ধারণা 

• নির্ণায়ক (Determinants): নির্ণায়ক হল এক বিশেষ ধরনের ফাংশন যা একটি বাস্তব সংখ্যাকে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের (Square Matrix) সাথে সম্পর্কিত করে । কোনো n×n বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের ক্রমও n ।

 

নির্ণায়কের অণুরাশি ও সহগুণক (Minor and cofactor of determinants) : যদি D কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে তার যেকোনো উপাদান d_ij এর অণুরাশিকে M _ij দ্বারা প্রকাশ করা হয় । M_ij হল i তম সারি ও j তম কলাম বাদে বাকি উপাদানগুলো দ্বারা গঠিত বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক । যেমন :

D = $\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}$ হলে,

a₁ এর অণুরাশি = M₁₁ = $\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}$ = $\begin{array}{ll}b_{2} & c_{2} \\ b_{3} & c_{3}\end{array}$ = b₂c₃ – b₃c₂

অনুরূপভাবে, b₁ এর অণুরাশি = M₁₂ = $\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}$ = $\begin{array}{ll}a_{2} & c_{2} \\ a_{3} & c_{3}\end{array}$ = a₂c₃ – a₃c₂

অর্থাৎ, যদি D এর কোনো উপাদানের মধ্য দিয়ে একটি আনুভূমিক ও একটি উল্লম্ব সরলরেখা টানা যায় তাহলে বাকি উপাদানগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়কই হল ঐ উপাদানের অণুরাশি ।

আবার, D এর কোনো উপাদান d_ij এর সহগুণকে C_ij দ্বারা প্রকাশ করা হয় যেখানে C_ij = (-1)^i+jM_ij । অর্থাৎ, অণুরাশির পূর্বে যথাযোগ্য চিহ্ন বসালে সংশ্লিষ্ট উপাদানের সহগুণক পাওয়া যায় । যেমন :

b₁ এর সহগুণক = $(-1)^{1+2} \mathrm{M}_{12}=-\begin{array}{cc}a_{2} & c_{2} \\ a_{3} & c_{3}\end{array}=-\left(\mathrm{a}_{2} \mathrm{C}_{3}-\mathrm{a}_{3} \mathrm{c}_{2}\right)$

• নির্ণায়কের বিস্তৃতি (Expansions of Determinant) : কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি নির্দিষ্ট সারি কিংবা কলাম বরাবর বিস্তৃত করে এর নির্ণায়কের মান নির্ণয় করা হয় । ঐ নির্দিষ্ট কলামের/ সারির প্রতিটি উপাদানকে নিজ নিজ সহগুণক দ্বারা গুণ করে গুণফলের বীজগাণিতিক সমষ্টি নিলে উক্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান পাওয়া যায় । অর্থাৎ, A, n মাত্রার কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে, সারি বরাবর বিস্তৃত করে পাই,

det(A) = a₁₁c₁₁+a₁₂c₁₂+ ............ +a_1nc_1n

           = a₂₁c₂₁+a₂₂c₂₂+ ............ +a_2nc_2n

           ... ... ... ... ... ... ... ... ...

           ... ... ... ... ... ... ... ... ...

           = a_n1c_n1+a_n2c_n2+ ............ +a_mnc_nn

অনুরূপভাবে, কলাম বরাবর বিস্তৃত করে পাই,

det(A) = a₁₁c₁₁+a₁₂c₁₂+ ............ +a_1nc_1n

          = a₂₁c₂₁+a₂₂c₂₂+ ............ +a_2nc_2n

          ... ... ... ... ... ... ... ... ...

          ... ... ... ... ... ... ... ... ...

          = a_n1c_n1+a_n2c_n2+ ............ +a_mnc_nn

উদাহরণস্বরূপ, $\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & C_{3}\end{array}$  ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক নির্ণয়ের জন্য প্রথম সারি বরাবর বিস্তৃত করে পাই,

$\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & C_{3}\end{array}$

= $\mathrm{a}_{1} \begin{array}{cc}b_{2} & c_{2} \\ b_{3} & c_{3}\end{array}$ - $\mathrm{b}_{1} \begin{array}{ll}a_{2} & c_{2} \\ a_{3} & c_{3}\end{array}$ + $\mathrm{c}_{1} \begin{array}{ll}a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3}\end{array}$

= a₁ (b₂c₃ – b₃c₂) - b₁ (a₂c₃ – a₃c₂) + c ₁ (a₂b₃ – a₃b₂)

 

নির্ণায়কের ধর্ম (Properties of Determinants) 

১. নির্ণায়কের কোনো সারি বা কোনো কলামের উপাদানগুলো শূণ্য হলে নির্ণায়কের মান শূণ্য হয় ।

২. নির্ণায়কের সারি ও কলামসমূহ পরস্পর স্থান বিনিময় করলে অর্থাৎ সারিগুলো কলামে এবং কলামগুলো সারিতে পরিণত করলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে ।

৩. নির্ণায়কের পাশাপাশি দুটি কলাম কিংবা দুটি সারি পরস্পর স্থান বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তিত হয় কিন্তু সাংখ্যমান অপরিবর্তিত থাকে ।

৪. নির্ণায়কের দুটি কলাম কিংবা দুটি সারি অভিন্ন (Identical) হলে নির্ণায়কের মান শূন্য হয় ।

৫. নির্ণায়কের কোনো সারি বা কলামের উপাদানগুলোকে যথাক্রমে অপর সারি বা কলামের অনুরূপ উপাদানের সহগুণক দ্বারা গুণ করা হলে । গুণফলগুলোর সমষ্টি শূন্য হয় ।

৬. নির্ণায়কের কোনো সারি বা কলামের প্রত্যেকটি উপাদানকে কোন স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে, নির্ণায়কের মানকেও সেই স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয় ।

৭. নির্ণায়কের কোনো সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদানকে কোনো স্থির সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যদি যথাক্রমে অন্য কোনো সারি বা কলাম পাওয়া যায় তবে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।

৮. নির্ণায়কের কোনো সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদান দুইটি পদ নিয়ে গঠিত হলে নির্ণায়কটিকে অন্য দুটি নির্ণায়কের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায় ।

৯. নির্ণায়কের কোনো সারি বা কলামের প্রতিটি উপাদান যথাক্রমে অন্য একটি সারি বা কলামের অনুরূপ উপাদানের একটি গুণিতক দ্বারা বৃদ্ধি ব হ্রাস করা হলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে ।

 

নির্ণায়কের সাহায্যে সরল সমীকরণ জোটের সমাধান

১. সমীকরণ জোটের চলকসমূহের সহগগুলো পাশাপাশি কলাম হিসেবে নিয়ে নির্ণায়কের মান নির্ণয় করতে হবে । উক্ত নির্ণায়ককে D বা Δ দ্বারা সূচিত করা হয় ।

২. এরপর উক্ত নির্ণায়কের প্রথম কলামকে সমীকরণজোটের ধ্রুব পদ দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে নির্ণায়কের মান নিলে প্রথম কলামের সংশ্লিষ্ট চলকের জন্য একটি নির্ণায়কের মান পাওয়া যাবে ।

৩. এভাবে প্রতি কলামের জন্য প্রক্রিয়া (ii) পুনরাবৃত্তি করে যথাক্রমে D _x/Δx, D_y/Δy, D_z/Δz ...... ইত্যাদি নির্ণায়কের মান পাওয়া যাবে ।

৪. x/Δx = y/Δy = z/Δz = ...... = 1/Δ ইত্যাদির মান নির্ণয় করা যায় ।

 

গাণিতিক সমস্যার উদাহরণ ও সমাধান 

1. মান নির্ণয় কর : $\begin{array}{lll}13 & 16 & 19 \\ 14 & 17 & 20 \\ 15 & 18 & 21\end{array}$

এখানে, $\begin{array}{lll}13 & 16 & 19 \\ 14 & 17 & 20 \\ 15 & 18 & 21\end{array}$

= $\begin{array}{lll}13 & 3 & 3 \\ 14 & 3 & 3 \\ 15 & 3 & 3\end{array}$

= 0 [see নির্ণায়কের ধর্ম ৪]

অথবা, সরাসরি Calculator প্রয়োগ করেও মান নির্ণয় করা যায় । [see Determinants of matrix in Matrix chapter]

2. $\begin{array}{cc}2 & a+2 \\ a-4 & 8\end{array}$ এর মান শূন্য হলে a এর মান কত?

এখানে, $\begin{array}{cc}2 & a+2 \\ a-4 & 8\end{array}=0$

⇒ 16 – (a+2)(a-4) = 0

⇒ 16 – (a²+2a-4a-8) = 0

⇒ 16- a²+2a+8 = 0

⇒ - a²+2a+24 = 0

⇒ a²-2a-24 = 0

⇒ a²-6a+4a-24 = 0

⇒ (a-6)(a+4) = 0

⇒ a = 6, -4

3. মান নির্ণয় কর :

a. $\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}$

 

b. $\begin{array}{ccc}1 & -w & w^{2} \\ -w & w^{2} & 1 \\ w^{2} & 1 & -w\end{array}$ যেখানে w হল 1 এর একটি কাল্পনিক ঘনমূল

 

c. $\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & p & p^{2} \\ 1 & p^{2} & p^{4}\end{array}$

 

d. $\begin{array}{lll}1 & x & y+z \\ 1 & y & z+x \\ 1 & z & x+y\end{array}$

 

e. $\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{array}$

 

f.  $\begin{array}{ccc}1+x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1} & 1+x_{2} & x_{3} \\ x_{1} & x_{2} & 1+x_{3}\end{array}$ 

 

g. $\begin{matrix}\log{x}&\log{y}&\log{z}\\\log{2x}&\log{2y}&\log{2z}\\\log{3x}&\log{3y}&\log{3z}\\\end{matrix}$

প্রথমেই বিস্তার না করে নির্ণায়কের বিভিন্ন ধর্ম ব্যবহার করে সংক্ষেপে ও সহজে নির্ণায়কের মান নির্ণয় করা যায় । তবে ঠিক কোন ধর্মটি ব্যবহার করলে মান নির্ণয় অপেক্ষাকৃত/ অধিকতর সহজ হবে তা কোন গঁৎবাঁধা নিয়মের দ্বারা নির্দিষ্ট নয়, অর্থাৎ তা অনেকাংশেই শিক্ষার্থীর স্বজ্ঞা(?) (Intuition) ও বিশ্লেষণ ক্ষমতা (Analytical ability) এর উপর নির্ভর করে । তবে সবসময়ই প্রথমে চেষ্টা করতে হবে cmmon/সাধারণ উপাদান গুলো বের করে আনার । এরপর দেখতে হবে যে গাণিতিক প্রক্রিয়ার মাধ্যমে পাশাপাশি কলাম বা সারিতে একই উপাদান আনা যায় কিনা, কেননা সেক্ষেত্রে সরাসরি নির্ণায়কের মান শূণ্য হয়ে যাবে । অথবা চেষ্টা করতে হবে কোন নির্দিষ্ট সারি বা কলামের সর্বোচ্চ সংখ্যক উপাদানকে শূণ্যে পরিণত করার । সেক্ষেত্রে বিস্তৃতিতে উপাদানসংখ্যা কমে যায় ফলে সহজ সরলীকরণ সম্ভব হয় ।

a. এখানে, $\begin{array}{ccc}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}$

= $\begin{array}{ccc}0 & a-b & a^{2}-b^{2} \\ 0 & b-c & b^{2}-c^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}$ [r₁′ = r₁-r₂; r₂′ = r ₂-r₃]

=(a-b)(b-c) $\begin{array}{ccc}0 & 1 & a+b \\ 0 & 1 & b+c \\ 1 & c & c^{2}\end{array}$ [r₁ থেকে (a-b) এবং r₂ থেকে (b-c) common নিয়ে ]

= (a-b)(b-c)(b+c-a-b) [c₁ বরাবর বিস্তৃত করে]

= (a-b)(b-c)(c-a)

b. এখানে, $\begin{array}{ccc}1 & -w & w^{2} \\ -w & w^{2} & 1 \\ w^{2} & 1 & -w\end{array}$

= $\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -w & 0 & 1+w^{3} \\ w^{2} & 1+w^{3} & 0\end{array}$ [c₂′ = c₂+c₁-w; c₃′ = c ₃+c₂-w]

= $\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -w & 0 & 2 \\ w^{2} & 2 & 0\end{array}$ [∵ w₃ = 1]

= 1(0-4) [r₁ বরাবর বিস্তৃত করে]

= -4

c. এখানে, $\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & p & p^{2} \\ 1 & p^{2} & p^{4}\end{array}$

= $\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & p-1 & p^{2}-p \\ 1 & p^{2}-1 & p^{4}-p^{2}\end{array}$ [c₂′ = c₂-c₁; c₃′ = c ₃-c₂]

= $\begin{array}{cc}p-1 & p(p-1) \\ p^{2}-1 & p^{2}\left(p^{2}-1\right)\end{array}$ [r₁ বরাবর বিস্তৃত করে]

= (p-1)(p²-1) $\begin{array}{cc}1 & p \\ 1 & p^{2}\end{array}$

= (p-1)(p²-1)(p²-p)

= p(p-1)(p²-1)

 

d. এখানে, $\begin{array}{ccc}1 & x & y+z \\ 1 & y & z+x \\ 1 & Z & x+y\end{array}$

= $\begin{array}{ccc}1 & x & x+y+z \\ 1 & y & x+y+z \\ 1 & Z & x+y+z\end{array}$ [c₃′ = c₂+c₃]

= (x+y+z) $\begin{array}{lll}1 & x & 1 \\ 1 & y & 1 \\ 1 & Z & 1\end{array}$

= 0 [see নির্ণায়কের ধর্ম iv]

e. এখানে, $\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{array}$

= $\begin{array}{cccc} & 1 & 1 & 1 \\ a b c & a & b & c \\ & a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{array}$

= $\begin{array}{rll} & 1 & a & a^{2} \\ a b c & 1 & b & b^{2} \\ & 1 & c & c^{2}\end{array}$ [নির্ণায়কের ধর্ম ii]

= abc(a-b)(b-c)(c-a) [see example 3(a)]

f. এখানে, $\begin{array}{ccc}1+x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1} & 1+x_{2} & x_{3} \\ x_{1} & x_{2} & 1+x_{3}\end{array}$

= $\begin{array}{ccc}1+x_{1}+x_{2}+x_{3} & x_{2} & x_{3} \\ 1+x_{1}+x_{2}+x_{3} & 1+x_{2} & x_{3} \\ 1+x_{1}+x_{2}+x_{3} & x_{2} & 1+x_{3}\end{array}$ [c₁′ = c₁+c₂+c₃]

= (1+x₁+x₂+x₃) $\begin{array}{ccc}1 & x_{2} & x_{3} \\ 1 & 1+x_{2} & x_{3} \\ 1 & x_{2} & 1+x_{3}\end{array}$

= (1+x₁+x₂+x₃) $\begin{array}{ccc}0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & x_{2} & 1+x_{3}\end{array}$ [r₁′ = r₁-r₂; r₂′ = r ₂-r₃]

= (1+x₁+x₂+x₃)1(1-0) [c₁ বরাবর বিস্তৃত করে]

= 1+x₁+x₂+x₃

 

g. এখানে, $\begin{array}{ccc}\log x & \log y & \log z \\ \log 2 x & \log 2 y & \log 2 z \\ \log 3 x & \log 3 y & \log 3 z\end{array}$

= $\begin{array}{ccc}\log x & \log y & \log z \\ \log 2 x-\log x & \log 2 y-\log y & \log 2 z-\log z \\ \log 3 x-\log 2 x & \log 3 y-\log 2 y & \log 3 z-\log 2 z\end{array}$ [r₂′ = r₂-r₁; r₃′ = r ₃-r₂]

= $\begin{array}{lcc}\log x & \log y & \log z \\ \log 2 & \log 2 & \log 2 \\ \log 3 / 2 & \log 3 / 2 & \log 3 / 2\end{array}$ [∵ logm-logn = log(m/n)]

= log2.log(3/2) $\begin{array}{ccc}\log x & \log y & \log z \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}$

= 0 [see নির্ণায়কের ধর্ম iv]

4. সমাধান কর : x+y-z = 3

2x+3y+z = 10

3x-y-7z = 1

এখানে, D = Δ = $\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & -7\end{array}$ = 1(-21+1)-1(-14-3)-1(-2-9) = 8

D_x = Δx = $\begin{array}{ccc}3 & 1 & -1 \\ 10 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & -7\end{array}$ = 3(-21+1)-1(-70-1)-(-10-3) = 24

D_y = Δy = $\begin{array}{ccc}3 & 1 & -1 \\ 10 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & -7\end{array}$ = 1(-70-1)-3(-14-3)-1(2-30) = 8

D_z = Δz = $\begin{array}{ccc}1 & 3 & -1 \\ 2 & 10 & 1 \\ 3 & 1 & -7\end{array}$ = 1(3+10)-1(2-30)+3(-2-9) = 8

∴ x = D_x/D = Δx/Δ = 3

∴ y = D_y/D = Δy/Δ = 3

∴ z = D_z/D = Δz/Δ = 3

Calculator Techniques :

2 বা 3 চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণজোটের সমাধান Calculator এ নির্ণয় করা যায় :

1. Equation mode এ যেতে চাপুন- $$
\begin{array}{|c|c|}
\hline \text { MODE } & \text { MODE } & \text { MODE } & 1 \\
\hline
\end{array}
$$

2. চলক সংখ্যা Input করুন । যেমন : Example 4 এ চলক তিনটি x,y,z । ∴ চাপুন- 3

3. তিনটি চলকবিশিষ্ট সমীকরণ calculator এ নিচের আকৃতিতে Input করতে হয়-

a₁x+b₁y+c₁z = d₁

a₂x+b₂y+c₂z = d₂

a₃x+b₃y+c₃z = d₃

যেমন : Example 4 এর চলকসমূহের সহগগুলো Input করতে চাপুন-

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন ও সমাধান 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন :

1. $\begin{array}{ccc}2 & -1 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 6\end{array}$ নির্ণায়কটির 0 এর সহগুণক কত?

a. 18

b. -24

c. 16

d. 24

2. $\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 20 & 21 & 24 \\ 10 & 10 & 10\end{array}$ এর মান কত?

a. 10

b. 20

c. 1

d. 0

3. $\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & k\end{array}$ নির্ণায়কটির মান 2 ; k এর মান কত?

a. 9

b. 8

c. 7

d. 6

4. $\begin{array}{lc}\beta & 1 \\ -5 & \beta+4\end{array}$ নির্ণায়কটির মান শূন্য হলে, β এর মান কত?

a. 5 অথবা 0

b. 6 অথবা 2

c. 5 অথবা -3

d. 1 অথবা -3

5. $\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ x & a & b \\ x^{2} & a^{2} & b^{2}\end{array}$ হলে

a. –a বা b

b. a বা -b

c. –a বা -b

d. a বা -b

6. $\begin{array}{ccc}x+y & x & y \\ x & x+z & z \\ y & z & y+z\end{array}$ নির্ণায়কটির মান-

a. 4xyz

b. x²yz

c. xy²z

d. xyz²

7. $\begin{array}{cc}a-3 & -1 \\ -8 & a-4\end{array}$ নির্ণায়কটির মান শূন্য হলে a এর মান-

a. 4 or -5

b. 5 or -4

c. 3

d. 10

 

8. w যদি 1 এর একটি ঘনমূল হয়, তবে প্রদত্ত নির্ণায়কটির মান-

$\begin{array}{ccc}1 & w & w^{2} \\ w & w^{2} & 1 \\ w^{2} & 1 & w\end{array}$

a. 0

b. 1

c. w

d. w²

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধান 

1. 0 এর সহগুণক = $\begin{array}{cc}2 & 5 \\ 4 & -2\end{array}=-(-4-20)=24$ [see নির্ণায়কের অণুরাশি ও সহগুণক]

∴ Answer : D

 

2. 10 $\begin{array}{ccc}10 & 11 & 12 \\ 20 & 21 & 24 \\ 1 & 1 & 1\end{array}$ = 10 $\begin{array}{ccc}10 & 1 & 1 \\ 20 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0\end{array}$ [c₂′ = c₂-c₁; c₃′ = c ₃-c₂]

= 10.1(3-1) = 20

অথবা, Calculator ব্যবহার করে সরাসরি মান নির্ণয় করে ফেলুন । [see Calculator Techniques in Matrix]

∴ Answer: B

 

3. $\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & k-4\end{array}$ = 2 [c₂′ = c₂-c₁; c₃′ = c ₃-c₂ see example 2 for details]

⇒ k-4-3 = 2

⇒ k = 9

∴ Answer: A

 

4. (β-2)(β+4)+5 = 0 ⇒ β²-2β+4β-8+5 = 0 [see example 2]

⇒ β²+2β-3 = 0

⇒ β²+3β-β-3 = 0

⇒ (β+3)(β-1) = 0

⇒ β = 1 অথবা -3

∴ Answer: D

 

5. $\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ x-a & a-b & b \\ x^{2}-a^{2} & c^{2}-b^{2} & b^{2}\end{array}$ = 0 [c₂′ = c₂-c₁; c₃′ = c ₃-c₂]

⇒ (x-a)(a-b) $\begin{array}{cc}1 & 1 \\ x+a & a+b\end{array}$ = 0 [see example x(a) for details]

⇒ (x-a)(a-b)(a+b-x-a) = 0

⇒ x = a অথবা b

∴ Answer : D

6. $\begin{array}{ccc}0 & x & y \\ -2 z & x+z & z \\ -2 z & z & y+z\end{array}$ [c₁′ = c₁+c₂+c₃]

= -2z $\begin{array}{ccc}0 & x & y \\ 1 & x+z & z \\ 1 & z & y+z\end{array}$

= -2z $\begin{array}{ccc}0 & x & y \\ 0 & x & -y \\ 1 & z & y+z\end{array}$ [r₁′ = r₂-r₃]

= -2z(-xy-xy)

= 4xyz

∴ Answer: A

 

7. (a-3)(a+4)-8 = 0

⇒ a²-3a+4a-12-8 = 0 [see example 2 for details]

⇒ a²+a-20 = 0

⇒ a²+5a-4a-20 = 0

⇒ (a+5)(a-4) = 0

⇒ a = 4 or -5

∴ Answer: A

8. $\begin{array}{ccc}1+w+w^{2} & w & w^{2} \\ 1+w+w^{2} & w^{2} & 1 \\ 1+w+w^{2} & 1 & w\end{array}$ [c₁′ = c₁+c₂+c₃]

= $\begin{array}{ccc}0 & w & w^{2} \\ 0 & w^{2} & 1 \\ 0 & 1 & w\end{array}$ [∵ 1+w+w² = 0]

= 0 [নির্ণায়কের ধর্ম i]

∴ Answer: A